একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও একক হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক?

একটি সমবাহু ত্রিভুজ (equilateral triangle) হলো এমন একটি ত্রিভুজ যার তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং তিনটি কোণই সমান (প্রতিটি \(60^\circ\))।

যদি একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) একক হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2\)

এই ক্ষেত্রে, বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) একক।

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে = \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) বর্গএকক।

এই সূত্রটি নিম্নোক্তভাবে প্রমাণ করা যেতে পারে:

মনে করি, একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\)।

ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব টানলে সেটি বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং দুটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।

যদি উচ্চতা (height) \(h\) হয়, তবে পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean theorem) অনুযায়ী:

\(h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\)

\(h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2\)

\(h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\)

\(h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}\)

\(h^2 = \frac{3a^2}{4}\)

\(h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\)

\(h = \frac{\sqrt{3}a}{2}\)

এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সাধারণ সূত্র হলো \(\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\)।

এই ক্ষেত্রে, ভূমি \(a\) এবং উচ্চতা \(h = \frac{\sqrt{3}a}{2}\)।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}a}{2}\)

ক্ষেত্রফল = \(\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\) বর্গএকক।